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6/23 たのしいさんすう

研究室で雑談しててフラクタルの話で盛り上がったので,メモついでにφ(`□´)カキカキ


1. 海岸線の長さ?
突然ですが,日本の海岸線の長さは約33,889kmなんだそうです.
海岸線の長さってどうやって測ってるんでしょうか.地図を用意して,海と陸の境界線にものさしを当てて測ればよさそうですね.
じゃあ,世界地図で測ってみましょう.数分あれば測れそうですね.
次に,住宅地図を集めてきて測ってみましょうか…! 時間さえあれば何とかなりそうです.

さて,2つの海岸線の長さ,同じになると思いますか? きっと世界地図の方が短いでしょうね.だって,細かい部分が省略されてるんですから.

じゃあ一体,海岸線の長さって何??


2. もっともっと精密な地図を使うと?
今の話を概念図で考えてみましょう.
北海道とは似ても似つかぬ…世界地図っぽいの

9倍細かい地図を集めてきて,1/9の大きさでコピーするとこんな感じ?住宅地図っぽいの

北海道の上半分だと思って頂ければ(!?).これはコッホ曲線と呼ばれる図形です.どこが曲線かって? 数学では,ぎざぎざでも繋がっていれば曲線と呼ぶんですね.まあそんなもんです.

コッホ曲線の作り方を示しておきます.
スタートスタート

第1段階第1段階.以降,線分をこの形に置き換えていきます.

第2段階第2段階.

第3段階第3段階.世界地図っぽいのと同じです.

これをずーっと繰り返します.無限回.

さて,コッホ曲線の長さはどれくらいなんでしょう.これが分かれば,海岸線の長さも分かりそうです.
スタートの線分の長さを1としましょう.すると,
第1段階:3等分した線分が4本あるので,長さは4/3.
第2段階:9=32等分した線分が16=42本あるので,長さは16/9=(4/3)2
第3段階:27=33等分した線分が64=43本あるので,長さは64/27=(4/3)3

第n段階:3n等分した線分が4n本あるので,長さは(4/3)n

これを無限回繰り返す,つまりnを無限大にすると,コッホ曲線の長さになります.4/3は1より大きいですから,無限回掛け算すると…そう,無限大になってしまいます.コッホ曲線の長さは無限大! ぱっと見は長さがありそうなのに! なんとも不思議な図形です.

結論:海岸線の長さは,地図を細かくすれば正確に測れるわけではない.

地図を細かくしてもきりがないのですね.実際には,ある決められた縮尺の地図で測ることになってます.

ちなみに,面積はどうなんでしょうか.海岸線と同じく,国土面積も決められないんでしょうか?
コッホ曲線をくっつけた,下のような図形の面積を考えればよさそうです.この図形,もちろん周囲の長さは無限大です.
コッホ雪片と呼ぶらしいです

実はこの面積は無限大にはならず,ちゃんとした値になるのです!
お暇な方は考えてみてください.高校数学程度で十分計算できますのでっ.

周囲の長さが無限大なのに,面積は決まる.何とも不思議な図形です.


3. さんすうのお話
海岸線の話をするのにコッホ曲線を持ち出したのは,これら二つが『フラクタル(fractal)曲線』という仲間だからです.辞書には「細かいやつの一部分が,大まかなやつの全体に似ているもの」がフラクタルであると書いてありますが,厳密には違います.だって,この説明だと直線もフラクタルになってしまいますから.直線の長さは,拡大の具合で変わったりしませんよね.fractalという単語はfraction(断片)に由来しますので,「どれだけ拡大してもぎざぎざが取れないもの」という説明の方が良いかも知れません(大ざっぱ過ぎるかも!).また,fractionには分数という意味があります.これもfractalの語源の一つなのですが,ちとマニアックな話になるのでまたの機会に.
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  1. 2006/06/23(金) 17:09:36|
  2. にっき
  3. | Trackback: 0
  4. | Comments: 4
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コメント

面積1の正三角形a0=図形S0を考える。

△a0の1/9の面積の△a1(相似比△a0:△a1=3:1)を考え、
△a0の全ての辺の中央1/3の部分に、それぞれ△a1を外向きに付け加える。
この操作で出来た図形をS1とする。

さらに、図形S1の全ての辺に対して、
△a1の1/9の面積の△a2(相似比△a1:△a2=3:1)を考え、
図形S1の全ての辺の中央1/3の部分に、それぞれ△a2を外向きに付け加える。

以上のような操作を繰り返し、
n回の操作を終えた後の図形Snの面積を考える。


n回目に追加される△の個数は、Sn-1の辺の総数に等しい。
Snの辺の総数をbnとすると、
b0 = 3、bn = 4*(bn-1)
 bn = 3*4^n (n>=0)

また、
a0 = 0
an = (1/9)*(an-1)
 an = (1/9)^n (n>=0)

一方、
S0 = a0 = 1
Sn = (Sn-1) + an * (bn-1)
 = (Sn-1) + 3 * 4^(n-1) * (1/9)^n
 = (Sn-1) + (1/3)*(4/9)^n (n>=2)


ここで、n>=1 において、
Sn - S0 は初項1/3、公比4/9 の等比数列の和に等しい。

Sn - S0 = (1/3)*{1-(4/9)^n} / (1 - 4/9)
    = (3/5)*{1-(4/9)^n}

以上より、
Sn = 1 + (3/5)*{1-(4/9)^n}

n→∞のとき、
lim Sn = 1 + 3/5 = 8/5


゜+.(・∀・)゜+.゜
  1. 2006/07/02(日) 22:06:35 |
  2. URL |
  3. ゆ #Dpy.7uTw
  4. [ 編集]

すばらしい・・!
私は△a0の辺の長さを1としてスタートしましたが,こちらの方が分かりやすいですね.
では次に,△anを正三角形ではなく,
 頂角θ(0<θ<=π),斜辺の長さ(Sn-1の辺の長さ)/4
であるような二等辺三角形とした場合のS∞を・・

なんか入試問題みたい(==

コメントは<sub>タグ使えないから不便・・
  1. 2006/07/03(月) 18:38:08 |
  2. URL |
  3. かぇ #05oaapbQ
  4. [ 編集]

一番初めの△a0が、正三角形なのか条件どおりの二等辺三角形なのかによって
答えが変わると思います まる
  1. 2006/07/04(火) 20:02:01 |
  2. URL |
  3. ゆ #Dpy.7uTw
  4. [ 編集]

△a0は正三角形と書くのを忘れました ほしみ
  1. 2006/07/06(木) 01:25:59 |
  2. URL |
  3. かぇ #05oaapbQ
  4. [ 編集]

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